Question

如图，平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，AB=2，AD=4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．

如图，平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，AB=2，AD=4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．（1）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求三棱锥E-ABD的侧面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵∠ABD=90°，∴AB⊥BD，AB∥CD，∴CD⊥BD，∴DE⊥BD；
∵平面EDB⊥平面ABD，平面EDB∩平面ABD=BD，DE?平面EDB，DE⊥BD；
∴DE⊥平面ABD，AB?平面ABD；
∴DE⊥AB，即AB⊥DE；
（Ⅱ）AB⊥DE，AB⊥BD，DE∩BD=D；
∴AB⊥平面EDB，BE?平面EDB，∴AB⊥BE，∴△ABE为Rt△；
ED⊥平面ABD，AD?平面ABD，∴ED⊥AD，∴△ADE为Rt△；
前面知道ED⊥BD，∴△BDE为Rt△；
在RtABD中，BD=

16?4

＝2

3

，∴S△BDE＝

1

2

BD?DE＝2

3

；
S△ADE＝

1

2

AD?DE＝4；
在Rt△BDE中，BE=

12+4

＝4，∴S△ABE＝

1

2

AB?BE＝4；
∴三棱锥E-ABD的侧面积为：8+2

3

．