Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90゜，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90゜，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N．求证：（1）CH=（2+1）EH；（2）S△ENHS△EBH=EHEC．

Answer 1

解答：证明：（1）如图，过H作HM⊥BC于M，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，而∠EBC=∠BDC=90°，
∴∠BEH=∠DHC，
而∠DHC=∠EHB，
∴∠BEH=∠EHB，
∴BE=BH．
设HM=x，那么DH=x，
∵BD⊥DC，BD=DC，
∴∠DBC=∠ABD=45°，
∴BH=

2

x=BE，
∴EN=x，
∴CD=BD=DH+BH=x+

2

x=（

2

+1）x，
即

CD

EN

=

2

+1．
∵EN∥DC，
∴△DCH∽△NEH，
∴

CH

EH

=

CD

EN

=

2

+1，即CH=（

2

+1）EH；

（2）由（1）得∠BEH=∠EHB，
∵EN∥DC，
∴∠ENH=∠CDB=90°，
∴∠ENH=∠EBC=90°，
∴△ENH∽△CBE，
∴EH：EC=NH：BE，
而

S△ENH

S△EBH

=

NH

BH

，BE=BH，
∴

S△ENH

S△EBH

=

EH

EC

．