Question

如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从

如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度、沿A→B方向，向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为t秒．（1）连接PD、PQ、DQ，设△PQD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；（2）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t，使得△PQD是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；（3）以点P为圆心，作⊙P，使得⊙P与对角线BD相切．问：当点P在CD上运动时，是否存在这样的t，使得⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当0≤t≤2时，即点P在BC上时，
S=S_{正方形ABCD}-S_△ADQ-S_△BPQ-S_△PCD=16-

1

2

?4?t-

1

2

?2t?（4-t）-

1

2

?（4-2t）?4=t²-2t+8，
当2＜t≤4时，即点P在CD上时，DP=8-2t，
S=

1

2

?（8-2t）?4=16-4t．


（2）①若PD=QD，则Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL）．
∴CP=AQ．即t=4-2t，解得t=

4

3

．
②若PD=PQ，则PD²=PQ²，即4²+（4-2t）²=（4-t）²+（2t）²．
解得t=-4±4

2

，其中t=-4-4

2

＜0不合题意，舍去，∴t=-4+4

2

．
③若QD=PQ，则QD²=PQ²，即16+t²=（4-t）²+（2t）²，解得t=0或t=2，
综上所述，t=

4

3

或t=-4+4

2

或t=0或t=2时，△PQD是等腰三角形．

（3）当P在CD上运动时，若⊙P经过BC的中点E，设⊙P切BD于M．
则CP=2t-4，PM²=PE²=（2t-4）²+2²．
而在Rt△PMD中，由于∠PDM=45°，所以DP=

2

PM，即DP²=2PM²．
∴（8-2t）²=2[（2t-4）²+2²]．
解得t=±

6

，负值舍去，
∴t=

6

，
若⊙P经过CD的中点，⊙P的半径r=2（

2

-1），
故t=2+

2

，
故当点P在CD上运动时，若t=

6

或2+

2

，则⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点．