如图,已知正方形ABCD的边长为4cm,动点P从点B出发,以2cm/s的速度、沿B→C→D方向,向点D运动;动点Q从
如图,已知正方形ABCD的边长为4cm,动点P从点B出发,以2cm/s的速度、沿B→C→D方向,向点D运动;动点Q从点A出发,以1cm/s的速度、沿A→B方向,向点B运动...
如图,已知正方形ABCD的边长为4cm,动点P从点B出发,以2cm/s的速度、沿B→C→D方向,向点D运动;动点Q从点A出发,以1cm/s的速度、沿A→B方向,向点B运动.若P、Q两点同时出发,运动时间为t秒.(1)连接PD、PQ、DQ,设△PQD的面积为S,试求S与t之间的函数关系式;(2)当点P在BC上运动时,是否存在这样的t,使得△PQD是等腰三角形?若存在,请求出符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;(3)以点P为圆心,作⊙P,使得⊙P与对角线BD相切.问:当点P在CD上运动时,是否存在这样的t,使得⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点若存在,请求出符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
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(1)当0≤t≤2时,即点P在BC上时,
S=S正方形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△PCD=16-
?4?t-
?2t?(4-t)-
?(4-2t)?4=t2-2t+8,
当2<t≤4时,即点P在CD上时,DP=8-2t,
S=
?(8-2t)?4=16-4t.
(2)①若PD=QD,则Rt△DCP≌Rt△DAQ(HL).
∴CP=AQ.即t=4-2t,解得t=
.
②若PD=PQ,则PD2=PQ2,即42+(4-2t)2=(4-t)2+(2t)2.
解得t=-4±4
,其中t=-4-4
<0不合题意,舍去,∴t=-4+4
.
③若QD=PQ,则QD2=PQ2,即16+t2=(4-t)2+(2t)2,解得t=0或t=2,
综上所述,t=
或t=-4+4
或t=0或t=2时,△PQD是等腰三角形.
(3)当P在CD上运动时,若⊙P经过BC的中点E,设⊙P切BD于M.
则CP=2t-4,PM2=PE2=(2t-4)2+22.
而在Rt△PMD中,由于∠PDM=45°,所以DP=
PM,即DP2=2PM2.
∴(8-2t)2=2[(2t-4)2+22].
解得t=±
,负值舍去,
∴t=
,
若⊙P经过CD的中点,⊙P的半径r=2(
-1),
故t=2+
,
故当点P在CD上运动时,若t=
或2+
,则⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点.
S=S正方形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△PCD=16-
1 |
2 |
1 |
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1 |
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当2<t≤4时,即点P在CD上时,DP=8-2t,
S=
1 |
2 |
(2)①若PD=QD,则Rt△DCP≌Rt△DAQ(HL).
∴CP=AQ.即t=4-2t,解得t=
4 |
3 |
②若PD=PQ,则PD2=PQ2,即42+(4-2t)2=(4-t)2+(2t)2.
解得t=-4±4
2 |
2 |
2 |
③若QD=PQ,则QD2=PQ2,即16+t2=(4-t)2+(2t)2,解得t=0或t=2,
综上所述,t=
4 |
3 |
2 |
(3)当P在CD上运动时,若⊙P经过BC的中点E,设⊙P切BD于M.
则CP=2t-4,PM2=PE2=(2t-4)2+22.
而在Rt△PMD中,由于∠PDM=45°,所以DP=
2 |
∴(8-2t)2=2[(2t-4)2+22].
解得t=±
6 |
∴t=
6 |
若⊙P经过CD的中点,⊙P的半径r=2(
2 |
故t=2+
2 |
故当点P在CD上运动时,若t=
6 |
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