如图,已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B,点M是线段AB(中点除外)上的动点,以点M为圆心,OM的
如图,已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B,点M是线段AB(中点除外)上的动点,以点M为圆心,OM的长为半径作圆,与x轴、y轴分别相交于点C、D.(1)设点M...
如图,已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B,点M是线段AB(中点除外)上的动点,以点M为圆心,OM的长为半径作圆,与x轴、y轴分别相交于点C、D.(1)设点M的横坐标为a,则点C的坐标为______,点D的坐标为______(用含有a的代数式表示);(2)求证:AC=BD;(3)若过点D作直线AB的垂线,垂足为E.①求证:AB=2ME;②是否存在点M,使得AM=BE?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)C(2a,0),D(0,2a+8);(2分)
(2)方法一:由题意得:A(-4,0),B(0,4),
-4<a<0,且a≠2,(3分)
①当2a+8<4,即-4<a<-2时,
AC=-4-2a,BD=4-(2a+8)=-4-2a,
∴AC=BD;(5分)
②当2a+8>4,即-2<a<0时,
同理可证:AC=BD,
综上:AC=BD;(6分)
方法二:①当点D在B、O之间时,
连CD,
∵∠COD=90°
∴圆心M在CD上(3分)
过点D作DF∥AB
∵点M为CD中点
∴MA为△CDF中位线
∴AC=AF(4分)
又DF∥AB
∴
=
而BO=AO
∴AF=BD
∴AC=BD;(5分)
②点D在点B上方时,同理可证:AC=BD;
综上:AC=BD;(6分)
(3)方法一:
①A(-4,0),B(0,4),D(0,2a+8),M(a,a+4),△BDE、△ABO均为等腰直角三角形,
E的纵坐标为a+6,∴ME=
(yE-yM)=
[a+6-(a+4)]=2
(7分)
AB=4
(8分)
∴AB=2ME;(9分)
②AM=
(yM-yA)=
(a+4),BE=
|yE-yB|=
|a+2|,(10分)
∵AM=BE,
又-4<a<0,且a≠2,
①当-4<a<-2时,
(a+4)=-
(a+2)
∴a=-3,∴M(-3,1);(11分)
②当-2<a<0时,
(a+4)=
(a+2)
∴a不存在;(12分)
方法二:
①当点D在B、O之间时,作MP⊥x轴于点P、MQ⊥y轴于点Q,取AB中点N,
在Rt△MNO与Rt△DEM中,MO=MD
∠MON=45°-∠MOP
∠EMD=45°-∠DMQ=45°-∠OMQ=45°-∠MOP
∴∠MON=∠EMD
∴Rt△MNO≌Rt△DEM (7分)
∴MN=ED=EB
∴AB=2NB=2(NE+EB)=2(NE+MN)=2ME (8分)
当点D在点B上方时,同理可证;(9分)
②当点D在B、O之间时,
由①得MN=EB
∴AM=NE (10分)
若AM=BE,则AM=MN=NE=EB=
AB=
∴M(-3,1)(11分)
点D在点B上方时,不存在. (12分)
注:(2)、(3)两问凡需要讨论而没有讨论的,每漏讨论一次扣(1分).
(2)方法一:由题意得:A(-4,0),B(0,4),
-4<a<0,且a≠2,(3分)
①当2a+8<4,即-4<a<-2时,
AC=-4-2a,BD=4-(2a+8)=-4-2a,
∴AC=BD;(5分)
②当2a+8>4,即-2<a<0时,
同理可证:AC=BD,
综上:AC=BD;(6分)
方法二:①当点D在B、O之间时,
连CD,
∵∠COD=90°
∴圆心M在CD上(3分)
过点D作DF∥AB
∵点M为CD中点
∴MA为△CDF中位线
∴AC=AF(4分)
又DF∥AB
∴
BD |
AF |
BO |
AO |
而BO=AO
∴AF=BD
∴AC=BD;(5分)
②点D在点B上方时,同理可证:AC=BD;
综上:AC=BD;(6分)
(3)方法一:
①A(-4,0),B(0,4),D(0,2a+8),M(a,a+4),△BDE、△ABO均为等腰直角三角形,
E的纵坐标为a+6,∴ME=
2 |
2 |
2 |
AB=4
2 |
∴AB=2ME;(9分)
②AM=
2 |
2 |
2 |
2 |
∵AM=BE,
又-4<a<0,且a≠2,
①当-4<a<-2时,
2 |
2 |
∴a=-3,∴M(-3,1);(11分)
②当-2<a<0时,
2 |
2 |
∴a不存在;(12分)
方法二:
①当点D在B、O之间时,作MP⊥x轴于点P、MQ⊥y轴于点Q,取AB中点N,
在Rt△MNO与Rt△DEM中,MO=MD
∠MON=45°-∠MOP
∠EMD=45°-∠DMQ=45°-∠OMQ=45°-∠MOP
∴∠MON=∠EMD
∴Rt△MNO≌Rt△DEM (7分)
∴MN=ED=EB
∴AB=2NB=2(NE+EB)=2(NE+MN)=2ME (8分)
当点D在点B上方时,同理可证;(9分)
②当点D在B、O之间时,
由①得MN=EB
∴AM=NE (10分)
若AM=BE,则AM=MN=NE=EB=
1 |
4 |
2 |
∴M(-3,1)(11分)
点D在点B上方时,不存在. (12分)
注:(2)、(3)两问凡需要讨论而没有讨论的,每漏讨论一次扣(1分).
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