Question

已知椭圆C：x2 /a2 +y2 / b2 =1（a＞b＞0），

已知椭圆C：x2 /a2 +y2 / b2 =1（a＞b＞0），直线y=k(x-1)经过椭圆c的一个焦点与其相较于点MN 且点A（1 3/2）在椭圆c上

求椭圆c的方程
若线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P 问：在x轴上是否存在一个定点Q 是的|PQ|/|MN|的值 若不存在 说明理由
若线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P 问：在x轴上是否存在一个定点Q, 使得|PQ|/|MN|为定值？若存在，求出点Q的坐标和|PQ|/|MN|的值，若不存在 说明理由

Answer 1

直线过点(1,0)，就是椭圆焦点，那么c=1即a^2-b^2=1
点A(1,3/2)在椭圆上，带入椭圆方程，有1/a^2+9/4b^2=1
结合a^2-b^2=1，有
b^2=3，a^2=4
椭圆方程为x^2 / 4 +y^2 / 3 =1

设M，N分别为(x1,y1)，(x2,y2)
那么，x1^2 / 4 +y1^2 / 3 =1，x2^2 / 4 +y2^2 / 3 =1
两式相减，得
k=(y1-y2)/(x1-x2)=-3(x1+x2)/4(y1+y2)，即MN的斜率
MN垂直平分线斜率为k‘=-1/k=4(y1+y2)/3(x1+x2)，中点为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
方程为：y-(y1+y2)/2=4(y1+y2)/3(x1+x2)*(x-(x1+x2)/2)
令y=0，得x=(x1+x2)/8，即P点坐标为((x1+x2)/8,0)

在x轴上是否存在一个定点Q 使的|PQ|/|MN|的值怎么样？把题目补充完整吧

追问

若线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P 问：在x轴上是否存在一个定点Q, 使得|PQ|/|MN|为定值？若存在，求出点Q的坐标和|PQ|/|MN|的值，若不存在 说明理由

追答

设椭圆的右焦点为F，右准线方程为x=a^2/c=4，离心率为e=c/a=1/2
利用椭圆第二定义，那么
|MF|/(4-x1)=|NF|/(4-x2)=e=1/2
则|MN|=|MF|+|NF|=(1/2)(4-x1+4-x2)=4-(x1+x2)/2
再设Q(m,0)，那么|PQ|=|m-(x1+x2)/8|
要使|PQ|/|MN|为定值，则4m=4，m=1
即Q点坐标为(1,0)