Question

求焦点的坐标是（-6，0），（6,0），并且经过点A（-5,2）的双曲线的标准方程

Answer 1

该双曲线的焦点在y轴上,设该双曲线的方程为y²/a²-x²/b²=1
两个焦点坐标(0,c),(0,-c)为(0,6),(0,-6),则c=6
由a²+b²=c²有a²+b²=36得b²=36-a²
代入点(2,-5)有25/a²-4/b²=1
25/a²-4/(36-a²)=1
25(36-a²)-4a²=a²(36-a²)
整理并分解因式,得(a²-20)(a²-45)=0
得a²=20,(b²=36-45＜0,则舍去a²=45)
b²=c²-a²=36-20=16
该双曲线的方程为y²/20-x²/16=1

Answer 2

设双曲线为x^2/a^2-y^2/b^2=1
根据双曲线性质 可得a^2 b^2=c^2=36
带入点A得到25/a^2-4/b^2=1,因为ab不为零，所以两边同乘a^2b^2,得到25b^2-4a^2=a^2b^2
从而得到关于a^2b^2的二元一次方程组
25b^2-4a^2=a^2b^2
a^2 b^2=36
解得a^2=20或45
但如果a^2=45的话，根据方程组b^2就变负数了，不合题意，舍去
综上 a^2=20,b^2=16
所以该双曲线的标准方程为x^2/20-y^2/16=1