Question

数学极限，求第10题详解，我做错了

Answer 1

简单的方法：设x=1/t
limt->0 ln(t+1)/t=1

追问

你这明显等于ln1嘛

追答

你怎么看出来等于ln1的
分母还有个t，分子分母都是0

追问

哦，我知道

了

追答

ln(1+f(x))~f(x)

ln(t+1)/t~t/t=1

追问

我知道了，用洛必达就好了。我能问问你我这样解为什么是错的吗？

追答

错得严重啊，ln1=0，把ln(1+1/x)~0是闹哪样
~表示两个无穷小等价，ln1是0不是无穷小
ln(1+1/x)~1/x，这个才对

追问

追答

(x+1)/x~1就不成立
给你举个例子：
1=x/x=x*(1/x)
当x->∞，1/x~0，x*0=0
你觉得这个像是成立么？
(x+1)/x=1+1/x，同阶无穷小才能替换
乘式中只有当某一项的极限不是0或∞，才可以将该项先算出来

追问

用洛必达法则导出来就是1/1啊。难道这不能用洛必达？

追答

毫无疑问它的极限是1，但是求它的极限是错误的做法
你是高三还是大学……

追问

我介于它们之间，是预科，好像我懂了

追答

lim f(x)g(x)=limf(x)*limg(x)成立的充要条件是，f(x)、g(x)均有极限
你把原式看做x*ln(1+1/x)，虽然ln(1+1/x)有极限，但是x没有极限，所以x*ln(1+1/x)的极限不等于x的极限乘以ln(1+1/x)的极限

追问

懂了，谢啦

Answer 2

x变成1/（1/x）强行变成分母变成0比0型，然后洛必达法则l

追答

结果是1

看见不能泰勒公式求极限的2种思路，换元或者洛必达。能用泰勒等价代换的先用泰勒

Answer 3

这个有公式的

追答

(1+1/x)的x次幂。当x趋于0它趋于e

你的做法，忽略了前面的x，当它趋于无穷大的时候，它也在变，两个函数乘的话结果会变，所以要整体看

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