Question

如图，在⊙ O 的内接△ ABC 中，∠ ABC =30°， AC 的延长线与过点 B 的⊙ O 的切线相交于点 D ，若⊙ O

如图，在⊙ O 的内接△ ABC 中，∠ ABC =30°， AC 的延长线与过点 B 的⊙ O 的切线相交于点 D ，若⊙ O 的半径 OC =1，且 BD ∥ OC ，则 CD 的长为（ ）. A． B． C． D．

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Answer 1

B

作辅助线OB、CE构建正方形CEBO．根据圆周角定理（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）求得∠OAC=2∠ABC=60°，然后由切线的性质及平行线的性质求得OB⊥OC，OB⊥BD；再根据圆的半径都相等知OB=OC，所以判定四边形CEBO是正方形，然后在直角三角形CDE中利用正弦三角函数sin∠D=sin60°求CD的长度并作出选择． 解：连接OB．过点C作CE⊥BD于点E． ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）； ∵OA=OC（⊙O的半径）， ∴∠ACO=∠OAC=60°（等边对等角）； 又BD∥OC， ∴∠ACO=∠D=60°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠OCD=120°（两直线平行，同旁内角互补）； ∵BD是⊙O的切线， ∴OB⊥OC，OB⊥BD； 又∵OB=OC， ∴四边形CEBO是正方形， ∴CE=OB=1， ∴CD= = ； 故选B． 本题综合考查了正方形的判定与性质、圆周角定理及切线的性质．解答该题时，借助于辅助线OB、CE构建正方形CEBO，然后由正方形的性质、直角三角形中的特殊角的三角函数值来求CD的长度．