Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB． （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； （4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由． （注意：本题中的结果均保留根号）．

Answer 1

解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°， 在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30° ∴OD=1，DB= ∴点B的坐标是（1， ）． （2）设所求抛物线的解析式为y=ax 2 +bx+c， 由已知可得： ， 解得：a= ，b= ，c=0， ∴所求抛物线解析式为y= x 2 + x． （3）存在， 由y= x2+ x配方后得：y= （x+1） 2 ﹣ ∴抛物线的对称轴为x=﹣1 ∵点C在对称轴x=﹣1上，△BOC的周长=OB+BC+CO； ∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小， ∵点O与点A关于直线x=﹣1对称，有CO=CA △BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA ∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小． 设直线AB的解析式为y=kx+b，则有： ， 解得：k= ，b= ， ∴直线AB的解析式为y= x+ ， 当x=﹣1时，y= ， ∴所求点C的坐标为（﹣1， ）， （4）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），则y= x 2 + x① 过点P作PQ⊥y轴于点Q，PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E， 则PQ=﹣x，PG=﹣y， 由题意可得： S △PAB =S 梯形AFEB ﹣S △AFP ﹣S △BEP = （AF+BE）﹒FE﹣ AF﹒FP﹣ PE﹒BE = （﹣y+ ﹣y）（1+2）﹣ （﹣y）（x+2）﹣ （1﹣x）（ ﹣y） = ② 将①代入②， 化简得：S △PAB =﹣ x 2 ﹣ x+ = （x+ ） 2 + ∴当 时，△PAB得面积有最大值，最大面积为 舜承载任以 2019-04-07 · TA获得超过3万个赞 知道大有可为答主 回答量：1.1万 采纳率：31% 帮助的人：670万 我也去答题访问个人页 关注 解:(1)作BH垂直Y轴于H,则:∠BOH=∠AOB-90°=30°. ∴BH=OB/2=2,OH=√(OB²-BH²)=2√3.故点B为(2,2√3) (2)抛物线过点O,则c=0,设过A(-4,0)和B(2,2√3)的抛物线为y=ax²+bx. 则:0=a(-4)²+b(-4); 2√3=a*2²+b*2. 解得:a=√3/6,b=2√3/3. 故过点A，O，B的抛物线为：y=(√3/6)x²+(2√3/3)x. (3)抛物线y=(√3/6)x²+(2√3/3)x的对称轴为直线x=-2. 连接AB，交直线x=-2于点C,则此时△BOC周长最小. 由A(-4,0),B(2,2√3)可求得直线AB为:y=(√3/3)x+4√3/3. x=-2时,y=(√3/3)*(-2)+4√3/3=2√3/3.即点C的坐标为（-2, 2√3/3); (4)设点P为(-m,-n),作PD垂直Y轴于D,AE垂直DP的延长线于E,BF垂直PD的延长线于F. 则:AE=n,PE=-m-(-4)=4-m;PF=2-(-m)=2+m;EF=2-(-4)=6. S△PAB=S梯形AEFB-S△AEP-S△PFB=(AE+BF)*EF/2-AE*PE/2-BF*PF/2 =(2n+2√3)*6/2-n*(4-m)/2-(2√3+n)*(m+2)/2=3n-√3m+4√3. 点P(-m,-n)在抛物线上，则-n=(√3/6)m²-(2√3/3)m,n=(-√3/6)m²+(2√3/3)m. ∴S⊿PAB=3[(-√3/6)m²+(2√3/3)m]-√3m+4√3=(-√3/2)(m-1)²+9√3/2. 故当m=1时,S⊿PAB有最大值,且最大值为9√3/2. m=1时,-n=(√3/6)*1²-(2√3/3)*1=-√3/2,即此时点P为(-1,-√3/2). 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2012-04-27 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB 2 2010-11-08 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB. 11 2012-03-13 在直角坐标系中，点A的坐标为（-4，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB． 2 2012-12-30 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时 26 2013-06-13 如图，在平面直角坐标系内，已知OA=OB=2，∠AOB=30°． （1）点A的坐标为（ ， ）； （2）将△AOB绕点O顺 24 2016-12-01 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB 2 2013-05-30 如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到OB. 2 2013-03-15 如图2，在直角坐标系中，点A（-2.0）连接OA并将之绕原点O顺时针旋转120度，得到线段OB 7 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 新生报道需要注意什么？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式

Answer 2

解:(1)作BH垂直Y轴于H,则:∠BOH=∠AOB-90°=30°.
∴BH=OB/2=2,OH=√(OB²-BH²)=2√3.故点B为(2,2√3)
(2)抛物线过点O,则c=0,设过A(-4,0)和B(2,2√3)的抛物线为y=ax²+bx.
则:0=a(-4)²+b(-4);
2√3=a*2²+b*2.
解得:a=√3/6,b=2√3/3.
故过点A，O，B的抛物线为：y=(√3/6)x²+(2√3/3)x.
(3)抛物线y=(√3/6)x²+(2√3/3)x的对称轴为直线x=-2.
连接AB，交直线x=-2于点C,则此时△BOC周长最小.
由A(-4,0),B(2,2√3)可求得直线AB为:y=(√3/3)x+4√3/3.
x=-2时,y=(√3/3)*(-2)+4√3/3=2√3/3.即点C的坐标为（-2,
2√3/3);
(4)设点P为(-m,-n),作PD垂直Y轴于D,AE垂直DP的延长线于E,BF垂直PD的延长线于F.
则:AE=n,PE=-m-(-4)=4-m;PF=2-(-m)=2+m;EF=2-(-4)=6.
S△PAB=S梯形AEFB-S△AEP-S△PFB=(AE+BF)*EF/2-AE*PE/2-BF*PF/2
=(2n+2√3)*6/2-n*(4-m)/2-(2√3+n)*(m+2)/2=3n-√3m+4√3.
点P(-m,-n)在抛物线上，则-n=(√3/6)m²-(2√3/3)m,n=(-√3/6)m²+(2√3/3)m.
∴S⊿PAB=3[(-√3/6)m²+(2√3/3)m]-√3m+4√3=(-√3/2)(m-1)²+9√3/2.
故当m=1时,S⊿PAB有最大值,且最大值为9√3/2.
m=1时,-n=(√3/6)*1²-(2√3/3)*1=-√3/2,即此时点P为(-1,-√3/2).