Question

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．（1）证明：△PBC是直角三

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．（1）证明：△PBC是直角三角形；（2）若PA=AB=2，且当直线PC与平面ABC所成角正切值为 2 时，直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：∵C在圆O上，∴BC⊥AC， ∵PA⊥平面 ABC，∴BC⊥PA， ∵PC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC， ∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形． （2）如图，过A作AH⊥PC于H， ∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH， ∴AH⊥平面PBC，则∠ABH就是要求的角．…（8分） ∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是PC与平面ABC所成角，…（9分） ∵tan∠PCA= PA AC = 2 ，又PC=2，∴AC= 2 ．…（10分） ∴在Rt△PAC中，AH= PA?AC PA 2 +A C 2 = 2 3 3 ，…（11分） ∴在RtABH中，sin∠ABH= 2 3 3 2 = 3 3 ， 故AC与平面PBC所成角正弦值为 3 3 ．…（12分）