Question

若a,b,c满足 abc ≠0,a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=4,a^3+b^3+c^3=3,求abc和a^4+b^4+c^4的值

Answer 1

因为 a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) ，
所以 16=1-2(ab+bc+ca) ，解得 ab+bc+ca=-15/2 ，
又 a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) ，
所以 3-3abc=4+15/2 ，解得 abc=-17/6 。

因为 (ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c) ，
所以 225/4=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2*(-17/6)*1 ，
解得 a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=743/12 。
因为 (a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 ，
所以 a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=16-2*743/12=-647/3

追问

所以 16=1-2(ab+bc+ca) ，解得 ab+bc+ca=-15/2
为什么是16，不是4吗？

追答

16=1-2(ab+bc+ca)
16-1=-2(ab+bc+ca)
15=-2(ab+bc+ca)
∴ab+bc+ca=-15/2

追问

我是说，a^2+b^2+c^2不是4吗？

追答

哦

因为 a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) ，
所以 4=1-2(ab+bc+ca) ，解得 ab+bc+ca=-3/2 ，
又 a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) ，
所以 3-3abc=4+3/2 ，解得 abc=-5/6 。

因为 (ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c) ，
所以 9/4=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2*(-5/6)*1 ，
解得 a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=47/12 。
因为 (a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 ，
所以 a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=16-2*47/12=49/6

追问

可是a+b+c=1，为什么是4.
答案应该是7/6吧

追答

又 a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) ，
3-3abc=1×[4-(-3/2)]
3-3abc=4+3/2
所以 3-3abc=4+3/2 ，解得 abc=-5/6 。