Question

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax 2 +1，(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性； (Ⅱ)设a＜-1，如果对任意x 1 ，x 2 ∈(0，+

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax 2 +1，(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性； (Ⅱ)设a＜-1，如果对任意x 1 ，x 2 ∈(0，+∞)，|f(x 1 )-f(x 2 )|≥4|x 1 -x 2 |，求a的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0，+∞)， ， 当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，+∞)单调增加； 当a≤-1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，+∞)单调减少； 当-1＜a＜0时，令f′(x)=0，解得 ， 则当x∈ 时，f′(x)＞0；x∈ 时，f′(x)＜0， 故f(x)在 单调增加，在 单调减少． (Ⅱ)不妨假设x 1 ≥x 2 ，而a＜-1， 由(Ⅰ)知f(x)在(0，+∞)单调减少，从而 ， 等价于 ，① 令g(x)=f(x)+4x，则 ， ①等价于g(x)在(0，+∞)单调减少，即 ， 从而 ； 故a的取值范围为（-∞，-2]。