Question

已知：如图，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，E为垂足，P是CD延长线上的一点，PA交⊙O于F，GF切⊙O于F且

已知：如图，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，E为垂足，P是CD延长线上的一点，PA交⊙O于F，GF切⊙O于F且与CP交于G，CH切⊙O于C且与AB的延长线交于H，如果GP2=GD?GC，AD平分∠BAP并交HP于M．求证：（1）AB为⊙O的直径；（2）MH=MP；（3）AHAB＝AEAF（证明过程中最好用数字表示角）．

Answer 1

 证明：（1）连接BF，
∵GF是⊙O切线，GDC是⊙O的割线，∴GF²=GD?GC，
∵GP²=GD?GC，∴∠1=∠2，∠2=∠3，
又FG切⊙O于F，∴∠3=∠4，
∴∠1=∠4，又AB⊥CD于E，∴∠1+∠PAB=90°（2分）
∴∠AFB=90°，
∴AB为⊙O的直径．（3分）

（2）连接AC．
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD．
∴

AC

＝

AD

，

BC

＝

BD

，∴AC=AD，∠5=∠6
又AD平分∠BAF，∴∠6=∠7，∴∠5=∠7（4分）
∵CH切⊙O于C，∴∠8=∠9，∴∠ACH=∠ADP，
∴△ACH≌△ADP（5分）
∴AH=AP，又AD平分∠BAP，
∴MH=MP．（6分）

（3）连接DF、DB，
∵∠1=∠4，∠4=∠10，∴∠1=∠10，（7分）
∴△AFD∽△ADP，∴

AD

AP

＝

AF

AD

，
∵AP=AH，
∴AD²=AH?AF．（8分）
又AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
又AB⊥CD于E，
∴△AED∽△ADB，∴

AE

AD

＝

AD

AB

，
∴AD²=AE?AB．（9分）
又AD²=AH?AF，∴AE?AB=AH?AF，
∴

AH

AB

＝

AE

AF

．（10分）