已知函数f（x）=13x3-x2+ax-a（a∈R）．（1）当a=-3时，求函数f（x）的极值；（2）若a≤1，求函数的单调
已知函数f（x）=13x3-x2+ax-a（a∈R）．（1）当a=-3时，求函数f（x）的极值；（2）若a≤1，求函数的单调区间．...
已知函数f（x）=13x3-x2+ax-a（a∈R）．（1）当a=-3时，求函数f（x）的极值；（2）若a≤1，求函数的单调区间．
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（1）f（x）=
x3?x2?3x+3，所以f′（x）=x2-2x-3．
∴解x2-2x-3=0，得：x=-1或x=3，所以
x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0；
x∈（-1，3）时，f′（x）＜0；
x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0．
根据极值的定义知：x=-1时，f（x）取到极大值f（-1）=
；x=3时，f（x）取到极小值f（3）=-6．
（2）f′（x）=x2-2x+a=（x-1）2+a-1，∵a≤1，∴a-1≤0
∴若a-1=0，即a=1时f′（x）≥0，所以（-∞，+∞）是f（x）的单调增区间；
若a＜1时，解（x-1）2+a-1=0得：x=1±
，所以：
x∈（-∞，1?
）时，f′（x）＞0，∴（-∞，1?
）是f（x）的单调增区间；
x∈（1?
，1+
）时，f′（x）＜0，∴[1?
，1+
]是f（x）的单调减区间；
x∈（1+
| 1 |
| 3 |
∴解x2-2x-3=0，得：x=-1或x=3，所以
x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0；
x∈（-1，3）时，f′（x）＜0；
x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0．
根据极值的定义知：x=-1时，f（x）取到极大值f（-1）=
| 14 |
| 3 |
（2）f′（x）=x2-2x+a=（x-1）2+a-1，∵a≤1，∴a-1≤0
∴若a-1=0，即a=1时f′（x）≥0，所以（-∞，+∞）是f（x）的单调增区间；
若a＜1时，解（x-1）2+a-1=0得：x=1±
| 1?a |
x∈（-∞，1?
| 1?a |
| 1?a |
x∈（1?
| 1?a |
| 1?a |
| 1?a |
| 1?a |
x∈（1+
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