Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，CD=6，AD=3，E为CD上一点，且DE=4，过E作EF∥AD交BC

如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，CD=6，AD=3，E为CD上一点，且DE=4，过E作EF∥AD交BC于F现将△CEF沿EF折起到△PEF，使∠PED=60°，如图2．（Ⅰ）求证：PE⊥平面ADP；（Ⅱ）求异面直线BD与PF所成角的余弦值；（Ⅲ）在线段PF上是否存在一点M，使DM与平在ADP所成的角为30°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）解法一：∵DE=4，PE=2，∠PED=60°，由弦定理得PD=2

3

，
∵PD²+PE²=16=DE²，∴PE⊥PD．∵EF⊥PE，EF⊥DE∴，EF⊥平面PDE，又∵EF∥AD，∴AD⊥平面PDE，∴AD⊥PE，又∵直线AD，PD在平面APD内，且相交于D，∴PE⊥平面APD．
解法二：EF⊥PE，EF⊥DE∴，EF⊥平面PDE∴平面DEF⊥平面PDE
以DA所在的直线为 x轴，以DE所在的直线为y轴，在平面DPE内过D作DE的垂线，以垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图
则D（0，0，0），A（3，0，0），P（0，3，

3

），E（0，4，0）
∴

DA

=（3，0，0），

DP

=（0，3，

3

），

EP

=（0，-1，

3

）．∵

DA

?