Question

已知方程x2+4ax+3a+1=0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈(?π2，π2)，则tanα+β2的值是___

已知方程x2+4ax+3a+1=0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈(?π2，π2)，则tanα+β2的值是______．

Answer 1

由已知方程x²+4ax+3a+1=0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ，
得：

tanα+tanβ＝?4a tanα?tanβ＝3a+1

，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1?tanαtanβ

=

?4a

1?3a?1

=

4

3

．
∵a＞1，
∴tanα+tanβ=-4a＜0，
∵α，β∈(?

π

2

，

π

2

)
∴α+β∈（-π，0），

α+β

2

∈(?

π

2

，0)，
∴tan

α+β

2

＜0．
又tan（α+β）=

2tan α+β 2

1?tan2 α+β 2

=

4

3

．
整理得：2tan²

α+β

2

+3tan

α+β

2

-2=0，
解得tan

α+β

2

=-2或tan

α+β

2

＝

1

2

（舍去）．
故答案为：-2．