Question

（2014?德州一模）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面A

（2014?德州一模）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，M为PB中点．（Ⅰ）求证：MC∥平面PAD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取PA的中点N，连接MN，DN，
∵M，N分别时PB，PA的中点，
∴MN∥AB，MN=

1

2

AB，
∵CD∥AB，CD=1，AB=2，
∴CD∥AB，CD=

1

2

AB，
∴MN∥CD，CD=MN，
∴四边形DCMN为平行四边形，
∴MC∥DN，
∵MC?平面PAD，DN?平面PAD，
∴MC∥平面PAD．
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB=E，
则四边形ADCE为矩形，
∴AE=CD=1，
∵AB=2，
∴BE=1，
在Rt△BEC中，∠ABC=45°，
∴CE=BE=1，CB=

2

，
则AC=

AD2+CD2

=

2

，
∴AC²+BC²=AB²，
∴BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．