Question

已知函数f（x）=4x+a?2x+3，a∈R．（1）当a=-4时，且x∈[0，2]，求函数f（x）的值域；（2）若关于x的方程

已知函数f（x）=4x+a?2x+3，a∈R．（1）当a=-4时，且x∈[0，2]，求函数f（x）的值域；（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，+∞）上有两个不同实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=-4时，令t=2^x，
由x∈[0，2]，得t∈[1，4]，y=t²-4t+3=（t-2）²-1
当t=2时，y_min=-1；当t=4时，y_max=3．
∴函数f（x）的值域为[-1，3]；
（2）令t=2^x，由x＞0知t＞1，且函数t=2^x在（0，+∞）单调递增．
∴原问题转化为方程t²+at+3=0在（1，+∞）上有两个不等实根，求a的取值范围．
设g（t）=t²+at+3，则

△＞0 ? a 2 ＞1 g(1)＞0

，即

a2?12＞0 a＜?2 a+4＞0

，解得?4＜a＜?2

3

．
∴实数a的取值范围是(?4，?2

3

)．