Question

如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠DCA

如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H．（1）求证：CD=CG；（2）若AD=CG，求证：AB=AC+CE．

Answer 1

解答：（1）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB=90°，∠AED=∠BEC，
∴∠CAD=∠DBH，
∵∠BCG=∠DCA，
∵在△ACD和△BGC中

∠DAC＝∠DBC ∠DCA＝∠BCG AC＝BC

∴△ACD≌△BGC（ASA），
∴CD=CG；
（2）证明：延长EC到F使CF=CE，如图，
∵△AGC≌△BCD
∴AG=BD，
∵CG=BD，
∴AG=CG，
∴∠GAC=∠GCA，
∵△CDG为等腰直角三角形，
∴∠CGD=45°，
∴∠GAC=22.5°，
∵AC⊥BC，CF=CE，
∴△AEF为等腰三角形，
∴∠FAC=∠EAC=22.5°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∵∠CAB=45°，∠ABC=45°，
∴∠FAB=22.5°+45°=67.5°，
∴∠F=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠F=∠FAB，
∴AB=BF，
而BF=BC+CF=AC+CE，
∴AB=AC+CE．