Question

（1）已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条真线上，线段AD与BE交于点F，AD交CE于点N，BE

（1）已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条真线上，线段AD与BE交于点F，AD交CE于点N，BE交AC于M．求证：①AD=BE；②CM=CN．（2）若点B、C、D不在同一条真线上，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请真接给出答案，不必证明．

Answer 1

解答：证明：（1）①如图1，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，

BC＝AC ∠BCE＝∠ACD CE＝CD

∴△BCE≌△ACD，
∴AD=BE，∠CAD=∠DBE，
②∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACN=60°=∠BCA，
在△BCM和△ACN中

∠CBM＝∠CAN BC＝AC ∠BCM＝∠ACN

∴△BCM≌△ACN，
∴CM=CN；

（2）①成立，
理由是：如图2，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，

BC＝AC ∠BCE＝∠ACD CE＝CD

∴△BCE≌△ACD，
∴AD=BE，∠CAD=∠DBE，
②不成立，
理由是：根据已知不能推出∠ACB=∠ACN，即不能推出△BCM≌△ACN，
所以CM=CN不成立．