Question

设函数f（x）=1?a2x2+ax-lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值，（2）当a＞1时，讨论函数f（x

设函数f（x）=1?a2x2+ax-lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值，（2）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

（1）函数的定义域为（0，+∞），
当a=1时，f(x)＝x?lnx， f′(x)＝1?

1

x

．
令f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）_极小值=f（1）=1，无极大值．
（2）f′(x)＝(1?a)x+a?

1

x

=

(1?a)x2+ax?1

x

=

(1?a)(x? 1 a?1  )(x?1)

x

（x＞0），
①当

1

a?1

=1，即a=2时，f′(x)＝?

(x?1)2

x

＜0，故函数在（0，+∞）上是减函数；
②当

1

a?1

＜1，即a＞2时，
令f'（x）＜0，得0＜x＜

1

a?1

或x＞1，令f'（x）＞0，得

1

a?1

＜x＜1，
③当

1

a?1

＞1，即1＜a＜2时，
令f'（x）＜0，得0＜x＜1或x＞

1

a?1

，令f'（x）＞0，得1＜x＜

1

a?1

，
综上，当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和（

1

a?1

，+∞）上单调递减，在（1，

1

a?1

）上单调递增；
当a=2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当a＞2时，f（x）在（0，

1

a?1

）和（1，+∞）上单调递减，在（

1

a?1

，1）上单调递增．