Question

如图，等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且BD=2DC，CE=2EA，AF=2FB，AD与BE相交于点P，BE与C

如图，等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且BD=2DC，CE=2EA，AF=2FB，AD与BE相交于点P，BE与CF相交于点Q，CF与AD相交于点R，则AP：PR：RD=______．若△ABC的面积为1，则△PQR的面积为1717．

Answer 1

（1）过点C作CG∥PE，交AD的延长线于G，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵BD=2DC，CE=2EA，AF=2FB，
∴BF=AE=CD．
在△ADC和△CFB中，

AC＝CB ∠ACD＝∠CBF CD＝BF

，
∴△ADC≌△CFB，
∴∠DAC=∠FCB，
∴∠DRC=∠DAC+∠ACR=∠FCB+∠ACR=60°．
同理：∠APE=60°．
∵CG∥PE，∴∠G=∠APE=60°，
∴△GRC是等边三角形，
∴GR=GC=RC．
在△AEP和△CDR中，

∠PAE＝∠RCD ∠APE＝∠CRD AE＝CD

，
∴△AEP≌△CDR，
∴AP=CR，PE=RD．
设AP=x，则CR=RG=GC=x．
∵CG∥PE，
∴△APE∽△AGC，
∴

AP

AG

=

PE

GC

=

AE

AC

=

1

3

．
∴AG=3AP=3x，GC=3PE=x即PE=

x

3

，
∴PR=AG-AP-RG=3x-x-x=x，RD=PE=

x

3

，
∴AP：PR：RD=x：x：

x

3

=3：3：1．
故答案为：3：3：1．

（2）连接PC，如图2．
∵∠QPR=∠APE=60°，∠QRP=∠DRC=60°，
∴△QPR是等边三角形，
∴QR=PR，
∴QR=RC，
∴S_△PQR=S_△PCR．
∵

S△PCR

S△CAD

=

PR

AD

=

x

x+x+ x 3

=

3

7

（高相等），

S△CAD

S△ABC

=

CD

BC

=

1

3

，
∴

S△PCR

S△ABC

=

S△PCR

S△CAD

?

S△CAD

S△ABC

=

3

7

×

1

3

=

1

7

．
∵S_△ABC=1，
∴S_△PCR=

1

7

，
∴S_△PQR=

1

7

．
故答案为：

1

7

．