Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．（2）求证：PC是⊙O的切线．

Answer 1

（1）猜想：OD ∥ BC，OD= 1 2 BC． 证明：∵OD⊥AC， ∴AD=DC ∵AB是⊙O的直径， ∴OA=OB…2分 ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD ∥ BC，OD= 1 2 BC （2）证明：连接OC，设OP与⊙O交于点E． ∵OD⊥AC，OD经过圆心O， ∴ AE = CE ，即∠AOE=∠COE 在△OAP和△OCP中， OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP ， ∴△OAP≌△OCP， ∴∠OCP=∠OAP ∵PA是⊙O的切线， ∴∠OAP=90°． ∴∠OCP=90°，即OC⊥PC ∴PC是⊙O的切线．