Question

已知关于x的一元二次方程（x﹣m） 2 +6x=4m﹣3有实数根。（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为

已知关于x的一元二次方程（x﹣m） 2 +6x=4m﹣3有实数根。（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x 1 与x 2 ，求代数式x 1 x 2 ﹣x 1 2 ﹣x 2 2 的最大值。

Answer 1

解：（1）由（x﹣m） 2 +6x=4m﹣3， 得x 2 +（6﹣2m）x+m 2 ﹣4m+3=0， ∴△=b 2 ﹣4ac=（6﹣2m） 2 ﹣4×1×（m 2 ﹣4m+3）=﹣8m+24， ∵方程有实数根， ∴﹣8m+24≥0， 解得 m≤3， ∴m的取值范围是m≤3； （2）∵方程的两实根分别为x 1 与x 2 ，由根与系数的关系，得 ∴x 1 +x 2 =2m﹣6， ， ∴ =3（m 2 ﹣4m+3）﹣（2m﹣6） 2 =﹣m 2 +12m﹣27 =﹣（m﹣6） 2 +9 ∵m≤3，且当m＜6时，﹣（m﹣6） 2 +9的值随m的增大而增大， ∴当m=3时， 的值最大，最大值为﹣（3﹣6） 2 +9=0， ∴ 的最大值是0。