Question

已知圆O：x 2 +y 2 =4内一点P（0，1），过点P的直线l交圆O于A，B两点，且满足 AP =λ

已知圆O：x 2 +y 2 =4内一点P（0，1），过点P的直线l交圆O于A，B两点，且满足 AP =λ PB （λ为参数）．（1）若 |AB|= 14 ，求直线l的方程；（2）若λ=2，求直线l的方程；（3）求实数λ的取值范围．

Answer 1

（I）当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不满足条件．故可设所求直线l的方程为y=kx+1代入圆的方程， 整理得（1+k 2 ）x 2 +2kx-3=0， 利用弦长公式可求得直线方程为y=x+1或y=-x+1． （II）当直线l的斜率不存在时， AP =3 PB 或 AP = 1 3 PB ，不满足条件，故可设所求直线l的方程为y=kx+1 代入圆的方程，整理得（1+k 2 ）x 2 +2kx-3=0，（*） 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则x 1 ，x 2 为方程（*）的两根， 由 AP =2 PB 可得x 1 =-2x 2 ，则有 x 1 + x 2 =- x 2 = -2k 1+ k 2 ，(1) x 1 x 2 =-2 x 22 =- 3 1+ k 2 ，(2) ． （1） 2 ÷（2）得 1 2 = 4 k 2 3(1+ k 2 ) ，解得 k=± 15 5 ， 所以直线l的方程为 y=± 15 5 x+1 ． （III）当直线l的斜率不存在时， AP =3 PB 或 AP = 1 3 PB ，λ=3或或 λ= 1 3 ， 当直线l的斜率存在时可设所求直线l的方程为y=kx+1，代入圆的方程，整理得（1+k 2 ）x 2 +2kx-3=0，（*） 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则x 1 ，x 2 为方程（*）的两根， 由 AP =λ PB 可得x 1 =-λx 2 ， 则有 x 1 + x 2 =(1-λ) x 2 = -2k 1+ k 2 ，(3) x 1 x 2 =-λ x 22 =- 3 1+ k 2 ，(4) ，（3） 2 ÷（4）得 (1-λ) 2 λ = 4 k 2 3(1+ k 2 ) ， 而 4 k 2 3(1+ k 2 ) = 4 3 - 4 3(1+ k 2 ) ∈[0， 4 3 ) ，由 0≤ (1-λ) 2 λ ＜ 4 3 ，可解得 1 3 ＜λ＜3 ， 所以实数λ的取值范围为 1 3 ≤λ≤3 ．