Question

已知抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离

已知抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5。过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M，（1）求抛物线的方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系。

Answer 1

解：（1）抛物线y 2 =2px的准线为 ， 于是 ， ∴p=2， ∴抛物线方程为y 2 =4x； （2）∵点A的坐标是（4，4）， 由题意得B（0，4），M（0，2）， 又∵F（1，0）， ∴ ， ∴ ， 则FA的方程为y= （x-1），MN的方程为 ， 解方程组 ， ∴ ； （3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2， 当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离； 当m≠4时，直线AK的方程为 ，即为 ， 圆心M（0，2）到直线AK的距离 ， 令d＞2，解得m＞1； ∴当m＞1时，直线AK与圆M相离；当m=1时，直线AK与圆M相切；当m＜1时，直线AK与圆M相交。