Question

已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，（1）求a、b的值；（2）

已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，（1）求a、b的值；（2）设函数f（x）=g(x)x，试判断f（x）在区间[2，3]上的单调性并证明．

Answer 1

（1）g（x）=ax²-2ax+1+b，函数的对称轴为直线x=1，由题意得：
①

a＞0 g(2)＝1+b＝1 g(3)＝3a+b+1＝4

得a=1，b=0；
②

a＜0 g(2)＝1+b＝4 g(3)＝3a+b+1＝1

得a=-1，b=3＞1（舍去）
∴a=1，b=0；
（2）g（x）=x²-2x+1，f（x）=

g(x)

x

=x+

1

x

-2，
∴f′（x）=1-

1

x2

，
∵x∈[2，3]，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在区间[2，3]上的单调递增．