Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与x＝?23时，都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若f(?1)＝32，求f（x）

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与x＝?23时，都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若f(?1)＝32，求f（x）的单调区间和极值；（3）若对x∈[-1，2]都有f(x)＜3c恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

（1）求导函数，可得f′（x）=3x²+2a x+b．
由题设，∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1与x＝?

2

3

时，都取得极值．
∴x=1，x=-

2

3

为f′（x）=0的解．
∴-

2

3

a=1-

2

3

，

b

3

=1×（-

2

3

）．
解得a=-

1

2

，b=-2（4分）
此时，f′（x）=3x²-x-2=（x-1）（x+

2

3

），x=1与x＝?

2

3

都是极值点．（5分）
（2）f （x）=x³-

1

2

x²-2 x+c，由f （-1）=-1-

1

2

+2+c=

3

2

，∴c=1．
∴f （x）=x³-

1

2

x²-2 x+1．

x	（-∞，- 2 3 ）	（- 2 3 ，1）	（1，+∞）
f′（x）	+	-	+

∴f （x）的递增区间为（-∞，-

2

3

），及（1，+∞），递减区间为（-

2

3

，1）．
当x=-

2

3

时，f （x）有极大值，f （-

2

3

）=

49

27

；
当x=1时，f （x）有极小值，f （1）=-

1

2

（10分）
（3）由（1）得，f′（x）=（x-1）（3x+2），f （x）=x³-

1

2

x²-2 x+c，
f （x）在[-1，-

2

3

）及（1，2]上递增，在（-

2

3

，1）递减．
而f （-

2

3

）=-

8

27

-

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