Question

（2012?合川区模拟）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE

（2012?合川区模拟）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边做等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①AC⊥ED；②∠BCE=∠ACD；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD面积的最大值为38．其中正确的是______．

Answer 1

∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC=

2

2

BC=

2

2

，CD=DE=

2

2

CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
②∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故②正确；
①当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC；
当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC必为锐角；
故①不完全正确；
④∵

CD

EC

=

AC

BC

=

2

2

，
∴

CD

AC

=

CE

BC

，
由①知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确；
③∵由④知∠DAC=45°，
∴∠EAD=135°，∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，
∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
∴△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤∵△ABC的面积为定值，
∴若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
∵△ACD中，AD边上的高为定值，
∴若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=

2

2

，AD=

1

2

；
故S_梯形ABCD=

1

2

（1+

1

2

）×

1

2

=

3

8

，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．