Question

如图1，点A、B是双曲线y=kx（k＞0）上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段AC、AD、BE、BF，AC和BF

如图1，点A、B是双曲线y=kx（k＞0）上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于点G，得到正方形OCGF（阴影部分），且S阴影=1，△AGB的面积为2．（1）求双曲线的解析式；（2）在双曲线上移动点A和点B，上述作图不变，得到矩形OCGF（阴影部分），点A、B在运动过程中始终保持S阴影=1不变（如图2），则△AGB的面积是否会改变？说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形OCGF是正方形，
∴OC=CG=GF=OF，∠CGF=90°，
∵OC²=S_阴影=1，
∴OC=CG=GF=OF=1，
∴点A的横坐标为1，点B纵坐标为1．
∵点A、B是双曲线y=

k

x

上的点，
∴点A的纵坐标为y=

k

1

＝k，点B横坐标为x=

k

1

＝k，
∴AC=k，BF=k，
∴AG=k-1，BG=k-1．
∵∠AGB=∠CGF=90°，
∴S_△AGB=

1

2

AG?BG=

1

2

(k?1)²=2，
解得k=3（取正值）．
∴反比例函数的解析式为y=

3

x

；

（2）点A、B在运动过程中△AGB的面积保持不变．
理由如下：
设矩形OCGF的边OC=m．
∵S_阴影=OC?OF=1，∴OF=

1

m

．
∴点A的横坐标为m，点B纵坐标为

1

m

．
∵点A、B是双曲线y=

3

x

上的点，
∴点A的纵坐标为y=

3

m

，点B横坐标为x＝

3

1 m

＝3m．
∴AC=

3

m

，BF=3m．
又FG=OC=m，CG=OF=

1

m

，
∴AG=AC-CG=

3

m

-

1

m

=

2

m

，BG=BF-FG=3m-m=2m，
∴S_△AGB=

1

2

AG?BG=

1

2

?

2

m

?2m=2．
∴点A、B在运动过程中△AGB的面积保持不变．