Question

如图，在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B

如图，在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，Rt△OAB的面积恒为1/2
试解决下列问题：
（1）填空：点D坐标为
（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；
（3）等式BO=BD能否成立？为什么？
（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

AB与CD不是平行的吗？？？？是不是AB与OD交与E啊？

1)易知Rt△OCD 为等腰直角三角形 so OD=CD=√2 so D(√2,√2)
2)设B(t,y) 则 t>0, t*y/2=1/2
y=1/t
则B(t,1/t)
向量BD=(√2-t,√2-1/t)
|BD|=√2-t-1/t
3)令t+1/t=u
|OB|=√(u^2-2) |BD|=√2-u
令OB=BD
解有u=√2 即 t+1/t=√2
t无解 故不存在
4）
直线CM: y=-x+√2
so: F(t,√2-t)
Rt△BDE, 因为∠BED=π/4,所以B为直角顶点或D为直角顶点
当B为直角顶点时，
OA=AE=t,AB=1/t,
AC=BD=BE=1/t-t,
OC=OA+AC=1/t=√2
t=√2/2,
F(√2/2,√2/2)
so 四边形BDCF是 上底为下底一半且上底等于直腰的直角梯形；
当D为直角顶点时，
OA=AE=t
AC=√2-t=BE/2=(1/t-t)/2
解有：t=√2+1(舍，取此值时，AB与OD无交点)
t=√2-1
F(√2-1,1) B(√2-1, √2+1)
四边形BDCF为边长为√2，有一顶角为45度的菱形。

Answer 2

（1）由OD=2，OC=CD，OC⊥DC，
∴OC=DC=√2，即D（√2，√2）。
（2）由△OAB=1/2，
当OA=t，t×AB÷2=1/2，
∴AB=1/t，即B（t，1/t）
|BD|=√[(t-√2)²+(1/t-√2)]
=√（t²-2√2t+2+1/t²-2√2/t+2）
（3）令BO=BD，
√[t²+（1/t）²]=√[(t-√2)²+(1/t-√2)]
-2√2t-2√2/t+4=0
√2t²-2t+√2=0
Δ=2²-4×√2×√2=-4＜0（不能成立）
（4）设∠BDE=90°，
∵∠DOC=45°，且∠DOC=∠DEB=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∠DCF=45°（M是OD中点）
∴DC∥BF，BD∥FC，
四边形BDCF是平行四边形。
当CD与AB距离=1,1/t=√2+1，
即t=√2-1时，B（√2-1，√2+1）
此时四边形CDBF是菱形。