Question

已知a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,且a,b,c,d均为正数，试判断a,b,c,d为边的四边形是什么形状，请说明理由

Answer 1

因为 a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
所以 a^4+b^4+c^4+d^4--4abcd=0
(a^2--b^2)^2+(c^2--d^2)^2+2(ab--cd)^2=0
因为 (a^2--b^2)^2; (c^2--d^2)^2与 (ab--cd)^2 都大于等于0,
所以 只有当 (a^2--b^2)^2, (c^2--d^2)^2, (ab--cd)^2 同时为0时,
等式 (a^2--b^2)^2+(c^2--d)^2+2(ab--cd)^2=0 才能成立,
所以 a^2--b^2=0
c^2--d^2=0
ab--cd=0,
因为 a, b, c, d 均为正数,
所以 a=b=c=d,
所以 以 a, b, c, d 为边的四边形是菱形.

Answer 2

a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd ①
a^4+（a^4-a^4）+b^4+（b^4-b^4）+c^4+（c^4-c^4）+d^4+（d^4-d^4）=4abcd
（a^4-b^4）+（b^4-c^4）+(c^4-d^4)+(d^4-a^4)+a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
(a²+b²)(a²-b²)+(b²+c²)(b²-c²)+(c²+d²)(c²-d²)+(d²+a²)(d²-a²)+a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd②
根据①和②可知，(a²+b²)(a²-b²)+(b²+c²)(b²-c²)+(c²+d²)(c²-d²)+(d²+a²)(d²-a²)=0
推出a=b=c=d。所以是菱形（正方形是特殊的菱形）。

Answer 3

a,b,c,d为边的四边形是个正方形，
因为：正方形四边相等，a=b=c=d,则a^4+b^4+c^4+d^4=4*a^4=4abcd