Question

已知方程x²＋y²－2x－4y＋m＝0。

⑴若此方程表示圆，求实数m的取值范围;
⑵若⑴中的圆与直线x+2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值;
⑶在⑵的条件下，求以MN为直径的圆的方程

Answer 1

解：（1）方程x2+y2-2x-4y+m=0可化为（x-1）2+（y-2）2=5-m
∵方程表示圆，
∴5-m＞0，即m＜5；
（2）直线x+2y-4=0代入圆的方程，消去x可得：5y2-16y+8+m=0
∵△＞0，∴m＜245，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=165，y1y2=8+m5
∴x1x2=（4-2y1）（4-2y2）=16-8（y1+y2）+4y1y2=-16+4m5
∵坐标原点O在以MN为径的圆上，
∴OM•
ON=0
∴x1x2+y1y2=0
∴-16+4m5+8+m5=0
∴m=85．