Question

曲线积分与路径无关，单连通域。

有俩道题：
1.∫(xdy-ydx)/(x^2+y^2) 有平面线D:x^2+y^2>0
2.∫(xdx+ydy)/(x^2+y^2) 有平面线D:x^2+y^2>0
这俩道题都有aq/ax=ap/ay，但是第一个与路径有关，而第二个与路径无关。
答案说：因为D不是单连通域。
请问：
1.为什么不是单连通域，平面线D:x^2+y^2>0避开了(0,0)点啊
2.就算不是单连通域，上面俩道题共用一个D域啊，为什么第一个有关，第二个无关。

Answer 1

解答：
①确实D不是单连通域：
正是因为避开了(0，0)点，所以D是由整个平面挖去了(0，0)点以后而构成的，这样的域不是单连通域。
②在“与路径无关的条件”的定理当中，前提条件是“在单连通域上”，而现在D不是单连通域，所以，虽然有aq/ax=ap/ay，但是不能保证“与路径无关”这个结论一定成立。
③虽然两道题是同一个D，但是被积函数不同，所以，一个有关，另一个无关，这是有可能的。
就象定积分，都是在区间[a，b]上积分，如果被积函数不同，那积分的结果很可能不同。
④至于具体到这两个题，为什么第一个有关，第二个无关，这是可以证明的事实。
证明的方法：第一个有关的证明，在同济5版下册P146例4就是。
第二个无关的证明，参考例4就可以得到。

说明，②③是对于问题的理解。
①④是对于问题的具体解决。
原答案说：因为D不是单连通域，确因如此。