Question

1、已知tan（3π+α）=2，求：（1）（sinα+cosα）²；（2）sinα-cosα／2sinα+cosα

2、当m为何值时，方程x²+（m-2）x+m-3=0的两根平方和取最小值，并求出该最小值
3、已知f（x）=cos²-sinx+1，求该函数的最大值和最小值

Answer 1

解:
1.tan（3π+α）=tan(π+α)=tanα=2
(1)（sinα+cosα）²=sin²α+cos²α+2sinαcosα=(tan²α+1+2tanα)/tan²α+1
=4+1+4/5=9/5
(2)sinα-cosα／2sinα+cosα=tanα-1/2tanα+1=1/5
2.
根据韦达定理
x1+x2=-(m-2)
x1x2=m-3
x1^2
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=m^2+4-4m-2m+6
=m^2-6m+9-9+10
=(m-3)^2+1
所以最小值为1
3.f（x）=cos²-sinx+1=1-sin²x-sinx+1
=-sin²x-sinx+2
=-sin²x-sinx-1/4+1/4+2
=-(sinx+1/2)^2+9/4
所以最大值为9/4
最小值为0

Answer 2

1.(1)易知tan(3π+α)=tanα=2
而sin2α=2tanα/[1+(tanα)^2]=4/5
则(sinα+cosα)^2=1+sin2α=9/5

(2)显然cosα≠0
则(sinα-cosα)/(2sinα+cosα)
=(tanα-1)/(2tanα+1)=1/5

2.要使方程有根
则⊿=(m-2)^2-4(m-3)=(m-4)^2≥0
解得m∈R

由韦达定理有
x1+x2=2-m
x1x2=m-3
则x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(m-3)^2+1
显然m=3时(x1^2+x2^2)min=1

3.因f(x)=(cosx)^2-sinx+1
=-(sinx)^2-sinx+2
=-(sinx+1/2)^2+9/4
显然f(x)max=9/4
而因sinx≤1
则sinx+1/2≤3/2
即-(sinx+1/2)^2≥-9/4
所以f(x)min=0


Answer 3

1、已知tan（3π+α）=2，求：（1）（sinα+cosα）²；（2）sinα-cosα／2sinα+cosα
tan(3π+a)=2, tana=2
(1) (sina+cosa)^2=(sina^2+2cosasina+cosa^2)/(sina^2+cosa^2)
=(tana^2+2tana+1)/(tana^2+1)
=(2^2+2*2+1)/(2^2+1)
=9/5(2)
sina-cosa/2sina+cosa
=(tana-1)/(2tana+1)
=(2-1)/(2*2+1)
=1/5

2、当m为何值时，方程x²+（m-2）x+m-3=0的两根平方和取最小值，并求出该最小值
两根平方和=(m-2)^2-2(m-3)
=m^2-4m+4-2m+6
=m^2-6m+10
=(m-3)^2+1
即最小值为当m-3=0, 即 m=3,最小值为1
3、已知f（x）=cos²-sinx+1，求该函数的最大值和最小值