Question

如图在四边形ABCD中∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC ，CD上分别找一点M，N，当

如图在四边形ABCD中∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC ，CD上分别找一点M，N，当△AMN周长最小时，试求∠AMN+∠ANM的度数

Answer 1

如图，以BC为对称轴作A的对称点E，以CD为对称轴作A的对称点F
连接EF，与BC,CD分别交于点P,Q
则当M,N分别与交点P,Q重合时，△AMN周长最小
由对称可知，有 AM=EM, AN=FN
∴△AMN周长=AM+MN+AN=EM+MN+FN
E,F两点间直线最短，故只有当M,N分别与P,Q重合时
△AMN周长取得最小值，此最小值即为EF
由对称性可知，∠AMN=∠E+∠EAM=2∠E，
∠ANM=∠F+∠FAN=2∠F
又∠BAD=120°，∴∠E+∠F=180°-120°=60° （△AEF内角和180°）
∴∠AMN+∠ANM=2（∠E+∠F）=120°