Question

已知｛an｝是公比为正数的等比数列，且a1=2，a3=a2+4，数列｛bn｝的前n项和Sn=n2+n

已知｛an｝是公比为正数的等比数列，且a1=2，a3=a2+4，数列｛bn｝的前n项和Sn=n2+n
1）求数列｛an｝的通项公式
2）求数列｛anbn｝的前n项和Tn

Answer 1

(1)令公比为q，显然q>0
则a2=a1q=2q，a3=a1q^2=2q^2
依题有2q^2=2q+4
解得q=2
于是an=a1q^(n-1)=2^n

(2)显然b1=S1=1^2+1=2
因bn=Sn-S(n-1)
而S(n-1)=n^2-n
则bn=(n^2+n)-(n^2-n)=2n

易知anbn=n*2^(n+1)
于是Tn=1*2^2+2*2^3+3*2^4+...+n*2^(n+1)（I）
由（I）两边乘以2
则有2Tn=1*2^3+2*2^4+3*2^5+...+n*2^(n+2)（II）
由（II）-（I）得Tn=n*2^(n+2)-1*2^2-{(2*2^3-1*2^3)+(3*2^4-2*2^4)+...+[n*2^(n+1)-(n-1)*2^(n+1)]}
=n*2^(n+2)-[2^2+2^3+2^4+...+2^(n+1)]
易知2^2+2^3+2^4+...+2^(n+1)=2^(n+2)-4
所以Tn=n*2^(n+2)-2^(n+2)+4=(n-1)*2^(n+2)+4