Question

已知椭圆C：y²/a²+x²/b²=1(a＞b＞0)经过点A(-1/2,√3），且离心率为√3/2

已知椭圆C：y²/a²+x²/b²=1(a＞b＞0)经过点A(-1/2,√3），且离心率为√3/2
（1）求椭圆C的标准方程
（2）设E、F分别是椭圆C上的两点，线段EF的垂直平分线与x轴相交于点P（t，0），求实数t的取值范围

Answer 1

（1）∵椭圆过A(-1/2,√3） ∴3/a²+1/(4b²)=1① ∵e=c/a=√3/2 ∴(a²-b²)/a²=3/4 ∴a²=4b² ②
联立①②，得a²=4,b²=1 ∴方程为y²/4+x²=1
（2）设E(m,n),F(p,q),EF中点Q(x,y)

∵EF垂直平分线与x轴相交 ∴m≠p 由题可知|PE|=|PF| ∴√((m-t)²+n²)=√((p-t)²+q²)
化简得t=(q²-n²)/(2(p-m))+(m+p)/2
∵E、F在椭圆C上 ∴n²=4-4m², q²=4-4p² ∴t=-3(m+p)/2=-3x
∵-1<x<1 ∴-3<t<3 即t的取值范围为(-3,3)

追问

为什么n²=4-4m², q²=4-4p² ？

追答

把E(m,n)、F(p,q)的坐标代入椭圆方程y²/4+x²=1就行了。
第一问的方程你可能没看清吧。x²+y²/4=1，这样比较明白。。呵呵。。这是一个竖着的椭圆，焦点在y轴上，所以写标准方程的时候y项在前面。

追问

-1<x<1？

追答

椭圆的范围，图画出来就知道了。再说了这个应该一眼就看出来啊，不就是长轴和短轴划定的区域吗，再往外就没有图形了。
对于这种竖着的椭圆，-b<x<b,-a<y<a
至于常见的横着的椭圆（焦点在x轴），-a<x<a,-b<y<b