Question

在三角形ABC中,AB=AC=5,BC=6,动点D在边AB上,DE垂直AB,点E在边BC上,且角DEF=角B,

当点D在AB上运动时，是否可能使三角形FCE的面积=三角形EBD的四倍？若可能，求出BD；若不可能，说明理由。

Answer 1

∵DE⊥AB即∠BDE=90°
∴∠BED+∠B=90°
∵∠DEF=∠B
∴∠DEF+∠BED=90°
即∠BEF=∠CEF=∠BDE=90°
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴△BDE∽△CEF
∴S△BDE/S△CEF=(BD/EC)²=1/4
BD=1/2EC，即EC=2BD
BE=BC-EC=6-2BD
做AM⊥BC于M，那么在等腰三角形ABC中，AM是中线，即BM=1/2BC=3
∴在Rt△ABM中：AB=5，AM=3，那么AM=4
∵∠AMB=∠BDE=90°
∠ABM=∠EBD
∴△ABM∽△EBD
∴DE/AM=BD/BM
DE=AM×BD/BM=4/3BD
∴在Rt△BDE中：BE²=BD²+DE²
(6-2BD)²=BD²+(4/3BD)²
11BD²-216BD+324=0
BD=36/22=18/11
BD=396/22(舍去）

追问

点F在AB上，不一定与A重合
那为什么△BDE∽△CEF
（若能附图更好）