Question

如图，AB是⊙O的直径

如图，AB是⊙O的直径，延长AB至点C，过点C作⊙O的切线CD，切点为D，连接AD、BD，过圆心O作AD的垂线交CD于点P. （1）求证：直线PA是⊙O的切线； （2）若AB=4BC，求OP分之BD 的值。

Answer 1

（1）连结OD，则AO=OD，令圆与OP交于E点
∵
∴弧AE=弧DE
∴∠AOE=∠DOE
因为OP=OP
∴△AOP全等于△DOP
∴∠OAP=∠ODP=90°
∴直线PA是圆o的切线
（2）令AD交OP于F点
∵AD⊥OP
∴AF=DF
∵AO=BO
∴OE是△ABD的中位线
∴OE平行BD
∴∠CBD=∠COP
∵∠C=∠C
∴△CBD相似于△COP
∴BD/OP=BC/OC=1/3

Answer 2

证明：连接OD
因为AD为圆O的弦，故三角形PAD为等腰三角形
因为D为切点，故OD垂直于CP,三角形ODP与OAP全等，
OA垂直于PA,角OAP=90°，PA为圆O的一条切线。
因为AB为圆O的直径，故AO=BO,又AB=4BC所以AO=BO=2BC
三角形CBD与COP为相似三角形，故OP分之BD 的值为1/3.

Answer 3

(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∠BDC+∠ADP=180°-90°=90°,
∵CD是过点C作⊙O的切线,∴∠BAD=∠BDC,
∵OP垂线AD,∴PA=PD,∠PAD=∠ADP,
∴∠BAP=∠BAD+∠PAD=∠BDC+∠ADP=90°
∴直线PA是⊙O的切线；
(2)）∵AB=4BC, OB=1/2AB, ∴BC=1/3CO,OP与AD交于M
∵AM＝DM，AO＝BO，∴BD／／OP，
∴BD/OP＝BC／CO＝1／3．

Answer 4

（1）
连接OD，
∵△DOA为等腰三角形，OP⊥AD
∴∠AOP=∠DOP
∴△AOP与△DOP全等
且CD为⊙O的切线，切点为D
∴∠ODP=∠OAP=90°
∴直线PA是⊙O的切线
（2）
∵AB=4BC
∴OC=3BC
∴BD/OP=BC/OC=1/3

Answer 5

连接OD
∵PC是圆O的切线
∴OD⊥PC(CD)即∠PDO=90°
∵OA=OD
OP⊥AD于F
∴OP是△AOD的中线，∠AOD的平分线
∴∠AOP=∠DOP
∵OP=OP，OA=OD
∴△POA≌△POD
∴∠PAO=∠PDO=90°
∴直线PA是⊙O的切线
2、∵AB=2OB
AB=4BC
∴OB=2BC
即BC/OB=1/2
∴BC/(BC+OB)=1/3
即BC/CO=1/3
∵AB是直径,OP⊥AD
∴∠ADB=∠AFO=90°
∴BD∥OP
∴△CBD∽△CPO
∴BD/OP=BC/CO=1/3