Question

已知抛物线y^2=4x,直线l的斜率为1，且过抛物线的焦点 （1）求直线l的方程 （2）直线l与抛物线交于两点

A,B，O是坐标原点，求△AOB的面积

Answer 1

(1)、∵抛物线方程为：y²=4x
∴焦点坐标为(1,0)
又∵直线l的斜率为1，且过抛物线的焦点
∴直线方程为：y-0=x-1
即x-y-1=0
(2)、直线l与抛物线交于A、B两点
∴将直线方程和抛物线方程联立可得：
y²=y+1，即y²-y-1=0
根据韦达定理：yA+yB=1，yAyB=-1
则xA+xB=yA+1+yB+1=3，
xAxB=(yA+1)(yB+1)=yAyB+yA+yB+1=1
∴(yA-yB)²=(yA+yB)²-4yAyB=5
(xA-xB)²=(xA+xB)²-4xAxB=5
即△AOB的底为：|AB|=√[(xA-xB)²+(yA-yB)²]=5√2
又∵点O到直线AB的距离即为△AOB的高
即h=|0-0-1|/√2=√2/2
则△AOB的面积为：S=1/2*|AB|*h=5/2

Answer 2

(1)因为抛物线y^2=4x的焦点是(1,0)，可求出L的方程是y=x-1。
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)。
联立直线与抛物线方程消去y得：x^2-6x+1=0。x1+x2=6，x1x2=1。
[AB]=√2√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√2√(36-4)=32。
原点(0,0)到直线y=x-1的距离=1/√2。
三角形AOB面积=(1/2)*32*(1/√2)=8√2