Question

已知f(x)=x+4√x+4,数列『an』满足a1=1,a n+1=f(an)(n∈N+)求数列『an』的通项公式

Answer 1

解答：
f(x)=x+4√x+4=(√x+2)²
∵ a n+1=f(an)
∴ a(n+1)=(√an+2)²
∴ √a(n+1)=√an+2
∴ √a(n+1)-√an=2
∴ {√an}是等差数列，首项为1，公差为2
∴ √an=1+2(n-1)=2n-1
∴ an=(2n-1)²

Answer 2

解：
根据题意：
a(n+1)=f(an)=an+4√(an)+4=[√(an)+2]²
因为：f(x)=x+4√x+4=(√x+2)²≥0，
所以：a(n+1)≥0，即：an≥0
因此：
√a(n+1)=√(an)+2
√a(n+1)-√(an)=2
所以：数列{√(an)}是公差为2，首项√a1=1的等差数列，于是：
√(an)=1+2(n-1)=2n-1
因此：
an=(2n-1)²

Answer 3

(x)=x+4√x+4=(√x+2)²
∵ a n+1=f(an)
∴ a(n+1)=(√an+2)²
∴ √a(n+1)=√an+2
∴ √a(n+1)-√an=2
∴ {√an}是等差数列，首项为1，公差为2
∴ √an=1+2(n-1)=2n-1
∴ an=(2n-1)²

Answer 4

f(x)=(√x+2)^2
所以a[n+1]=(√a[n]+2)^2
√a[n+1]=√a[n]+2
所以√a[n]=√a[1]+2(n-1)=2n-1
a[n]=(2n-1)^2