Question

如图，三角形ABC中，角BAC=90°，AB=AC,AD⊥BC，垂足是D，

AE平分角BAD，交BC于点E。在三角形ABC外有一点F，使FA⊥AE,FC⊥BC
（1）求证：BE=CF
(2)在AB上取一点M，使BN=2DE,连接MC，交AD于点N，连接ME。求证：①ME⊥BC②DE=DN

Answer 1

证明：

（1）

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ABC=45°，

∵FA⊥AE，

∴∠EAF=∠BAC=90°，

∴∠EAF-∠EAC=∠BAC-∠EAC，

即∠CAF=∠BAE，

∵FC⊥BC，

∴∠BCF=90°，

∴∠ACF=90°-∠ACB=45°，

∴∠ACF=∠B，

又∵AC=AB，∠CAF=∠BAE，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴BE=CF。

（2）【改正】使BM=2DE

①作EG⊥AB于G。

则△BGE为等腰直角三角形，

∴BG=GE，

∵AE平分∠BAD，EG⊥AB，ED⊥AD，

∴GE=DE（角平分线上的点到角两边距离相等），

∵BM=2DE，

∴BM=2GE=2BG，

∴BG=GM，

∴GE垂直平分BM，

∴BE=ME，

∴∠B=∠BME=45°，

∴∠BEM=90°，

∴ME⊥BC。

②

设DE=1，则BM=2，BE=EM=√2/2BM=√2，BD=BE+DE=√2+1,

AB=√2BD=2+√2，AM=AB-BM=√2，

∴AM=EM，

又∵∠CAM=∠CEM=90°，CM=CM，

∴Rt△CAM≌Rt△CEM（HL），

∴∠ACM=∠ECM=22.5°，

在△DAE和△DCN中，

∵∠DAE=∠DCN=22.5°，AD=CD，∠ADE=∠CDN（ASA），

∴DE=DN。

Answer 2

（1）由题可知△ABC为等腰直角三角形，根据∠EAB=∠FAC,AB=AC,∠B=∠ACF得两三角形全等。

Answer 3

求什么，请问？哇，这个第二问有点意思