Question

已知三棱锥P-ABC的底面是边长为3的等边三角PA垂直于底面ABC，PA=2，求三棱锥外接球的表面积

Answer 1

∵△ABC是正△，
∴球心O与A、B、C三点距离必相等，故在平面ABC的射影应在其外心E上，其高度应是AP的一半为1，
以正△ABC底边AB的中点M为原点，MB为X轴，MC为Y轴，过M点且垂直平面ABC的射线为Y轴建立空间坐标系，
A（-3/2，0，0），B（3/2，0，0），C（0，3√3/2，0），
E（0，√3/2，0）（根据重心的性质），
P（-3/2，0，2），O（0，√3/2，1），
底正△外接圆半径r=（3√3/2）*2/3=√3，（根据重心的性质），
R=|OA|=|OB|=|OC|=|OP|=√[（√3）^2+1]=2，
∴外接球表面积S=4πR^2=16π。

Answer 2

由题意可知，三角形ABC为三角形PBC的投影，故有R=2，根据球的表面积公式得S=16π