Question

已知函数f（x)的定义域为R，f(0)=-1,对任意x∈R,f(x+1)=f(x)+2则

__1__ __1__ ... ... _____1_____
f(0)f(1)+f(1)f(2)+ +f(2012)f(2013)的值为（ ）
A.2012/4027 B.2013/4025
C.2012/4025 D.2013/4027

Answer 1

f(x加1)-f(x)=2,f(n)是公差为2的等差数列,
f(0)=-1,f(n)=2n-1.
由于1/f(k-1)f(k)=(1/2)(1/f(k-1)-1/f(k)),
故原式=(1/2)(1/f(0)-1/f(2013))=(1/2)(-1-1/4025)
=-2013/4025

Answer 2

由题意：令x=0 ，f(1)=f(0)+2=1
令x=1,f(2)=f(1)+2=3
令x=2,f(3)=f(2)+2=5
令x=3,f(4)=f(3)+2=7
······
f(2013)=f(2012)+2=1+2013x2=4027(等差数列通项公式)
__1__ __1__ ... ... _____1_____
f(0)f(1)+f(1)f(2)+ +f(2012)f(2013) = -1+1/3+2(1/3-1/5+1/5-1/7+```+1/4025-1/4027)
=-2/3+2(1/3-1/4027)
=-2/4027
我反复计算，结果和你的选项不能吻合，是不是题目有错

追问

这个可以用列项求和，我算的和你的不一样，可以再算一下吗？谢谢

追答

__1__ __1__ ... ... _____1_____
f(0)f(1)+f(1)f(2)+ +f(2012)f(2013)
=-1+1/1x3+1/3x5+```+1/2025x2027
=-1+1/3+2(1/3-1/5+1/5+···+1/4025-1/4027)
=-2/3+2/3-2/4027
=-2/4027
看吧！还是这个结果。可能是题目错了

Answer 3

由f(x+1)=f(x)+2令x=0得f(1)=f(-1)+2=2-1=1,f(2)=f(1)+2=3
用数学归纳法证明f(n)=2n-1（n为非负整数）为公差等于2的等差数列
所以原式=
1/2[1/f(0)-1/f(1)+1/f(1)-1/f(2)+……+1/f(2012)-f(2013)]
=1/2[1/f(0)-1/f(2013)]
=1/2(-1-1/4025)
=-2013/4025
应该是选B，但B少了个负号，请核实题目