Question

极限问题：x趋近于0时，(1-cosx)ln(1+x的平方)是比xsinx的n次方高阶的无穷小

而xsinx的n次方是比e的x的平方次方-1高阶的无穷小，求正整数n=？要详细过程谢谢

Answer 1

(1-cosx)ln(1+x的平方)是x的四阶无穷小，所以n只能取1或2，你再代入一下，看哪个满足xsinx的n次方是比e的x的平方次方-1高阶的无穷小

追问

还是不明白。。答案是没错。不过什么是四阶无穷小没学过这个。。只知道无穷小量代换。。可以用无穷小量代换解这道题吗
(1-cosx)ln(1+x的平方)等价1/2x的4次方
e的x的平方次方-1等价x的平方。。后面我就不会了。。

追答

其实所谓无穷小的阶，就是，比如说x趋于0时，f（x）/x^3存在，就说f（x）是x的三阶无穷小，实际上也是一种等价代换；如果这么说不明白的话就用等价代换解，你应经算出来，(1-cosx)ln(1+x的平方)等价1/2x的4次方，而xsinx的n次方等价于x的n+1次方，所以n只能取1或2，因为前者比后者的阶数高，而e的x的平方次方-1等价x的平方，故n=2，因为如果n=1的话，e的x的平方次方-1等价xsinx
不懂请追问

追问

“(1-cosx)ln(1+x的平方)等价1/2x的4次方，而xsinx的n次方等价于x的n+1次方，所以n只能取1或2，因为前者比后者的阶数高，而e的x的平方次方-1等价x的平方，故n=2”就是这句没明白，就是没明白为什么前者比后者阶数高N就要取1或2 又为什么e的x的平方次方-1等价x的平方，故n=2 。如果可以的话 麻烦你用列式的方法写一下可以吗

追答

你这里n肯定是整数吧？
高阶无穷小是什么你知道不？就是比如说x趋于0时，f(x)/g(x)极限为0，就说f(x)是g(x)的高阶无穷小，所以就按照这个高阶无穷小的定义去做，也可以算出来这个结果。比如“(1-cosx)ln(1+x的平方)等价1/2x的4次方，而xsinx的n次方等价于x的n+1次方，所以n只能取1或2“，带入极限式算就是x趋于0时，((1/2)x^4)/x^(n+1)极限为0，这个极限确定参数不应该不会了吧？不懂继续追问

Answer 2

O(1-cosx)~O(x^2);O(ln(1+x^2))~O(x^2)
因此O（(1-cosx)ln(1+x^2）)~O(x^4)

O(sin(x))~O(x);
O(xsin(x))~O(x^2);
O((xsinx)^n)~O(x^(2n))

因此2n<4
n=1