设z1,z2是单位圆内的任意两点,证明:|z1-z2|<|1-z1乘z2的d拔|
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解：设z1=a+bi，z2=c+di，z2一拔=c-di
∵向量z1、z2在单位圆内，∴a²+b²<1，c²+d²<1。
则|z1-z2|²=(a-c)²+(b-d)²
|1-z1·z2一拔|²=|1-(a+bi)·(c-di)|²=|1-ac-bd-(bc-ad)i|²=(1-ac-bd)²+(bc-ad)²
|z1-z2|²-|1-z1·z2一拔|²=(a-c)²+(b-d)²-[(1-ac-bd)²+(bc-ad)²]=(a²+b²-1)(1-c²-d²)<0
∴|z1-z2|²<|1-z1·z2一拔|²，不等式两边开根号即|z1-z2|<|1-z1·z2一拔|。
∵向量z1、z2在单位圆内，∴a²+b²<1，c²+d²<1。
则|z1-z2|²=(a-c)²+(b-d)²
|1-z1·z2一拔|²=|1-(a+bi)·(c-di)|²=|1-ac-bd-(bc-ad)i|²=(1-ac-bd)²+(bc-ad)²
|z1-z2|²-|1-z1·z2一拔|²=(a-c)²+(b-d)²-[(1-ac-bd)²+(bc-ad)²]=(a²+b²-1)(1-c²-d²)<0
∴|z1-z2|²<|1-z1·z2一拔|²，不等式两边开根号即|z1-z2|<|1-z1·z2一拔|。
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