Question

排列组合难题

10个人围坐一桌．每人点了一个不同的菜，但上菜时恰好每个人面前的都不是自己点的菜。对任意上菜的情况，通过旋转放菜的平台能保证至少有几人同时面对自己点的菜?
要详细解答，不懂装懂或语焉不详的就免答了吧。

Answer 1

2人一桌时，菜有2种放法，通过旋转平台一定可以保证2人都面对自己的菜

3人一桌时，菜有6种组合
如果人的顺序为ABC，菜的顺序为cba（逆序），通过旋转平台只能保证1人面对自己的菜
如果人的顺序为ABC，菜的顺序为abc（顺序），通过旋转平台能保证3人都面对自己的菜
由于平台可以旋转，bac、acb、cba等价（逆序），cab、bca、abc等价（顺序）

4人一桌时，菜有24种组合
如果人的顺序为ABCD，菜的顺序为dcba（逆序），通过旋转平台只能保证2人面对自己的菜
如果人的顺序为ABCD，菜的顺序为abcd（顺序），通过旋转平台能保证4人都面对自己的菜
如果人的顺序为ABCD，菜的顺序为abdc（杂序），通过旋转平台能保证2人都面对自己的菜
如果人的顺序为ABCD，菜的顺序为acbd（杂序），通过旋转平台能保证2人都面对自己的菜
如果人的顺序为ABCD，菜的顺序为acdb（杂序），通过旋转平台能保证2人都面对自己的菜
如果人的顺序为ABCD，菜的顺序为adbc（杂序），通过旋转平台能保证2人都面对自己的菜
由于平台可以旋转，badc、adcb、cbad、dcba等价（逆序），dabc、cdab、bcda、abcd等价（顺序），……上述6种组合，可以旋转成24种

5人一桌时，菜有5的阶乘=120种组合，可由24种组合旋转生成
顺序时能保证5人都面对自己的菜
逆序时只能有1人面对自己的菜

推论：
奇数人一桌时，逆序上菜，只能有1人面对自己的菜
偶数人一桌时，逆序上菜，至少能有2人面对自己的菜

虽然上述的一般性推论的证明还需要严谨的逻辑推导，但用来回答本题目应该是可以的，答案是至少保证2人同时面对自己的菜（逆序上菜），我们可以通过实际验算的方法证实此答案。

Answer 2

答：至少有3人