Question

微分方程的通解问题！

通解是必须常数项是两个或两个以上的未知数吗？。 我的高数书上写着h=-1／2gt²+C1t不是通解因为只有一个任意常数，可是又写了y=x²+C是dy=2xdx的通解，这不是也只有一个任意常数吗？？为什么，知道的同学请帮一下忙，谢谢了！

Answer 1

这和微分方程的阶数有关，微分方程是几阶的，通解中就有几个常数项，直观上是好理解的，微分方程就是还有变量导数的方程，解方程的过程和不定积分类似(y'=x可看做是最简单的微分方程)，导数最高是几阶，就要积分几次，而不定积分每进行一次，表达式中就多出一个常数C。例如你说的那两个微分方程，dy=2xdx是一阶微分方程，所以通解y=x²+C中只有一个常数项，而d^2h/dt^2是二阶微分方程，通解为h=(-1/2)gt²+C1t+C2，有两个常数项，h=-1／2gt²+C1t这个解是给定初始条件h(0)=0下的特解。

Answer 2

郭敦顒回答：
∵在“h=-1／2gt²+C1t”中C1是t的系数，如果是“h=-1／2gt²+ C1 ”，此中的C1也只是一个任意常数，注意是因C1中有C的下标1，是表示Ci中，i=1，2，3……中只是i=1，而没有i=2，3，……。所以“h=-1／2gt²+C1t”或“h=-1／2gt²+C1”不是通解，而是特解。
y=x²+C是dy=2xdx的通解。这是因为此中的C相当于Ci，i=1，2，3……

Answer 3

n阶微分方程的通解含有n个独立的常数
dy=2xdx是一阶，故只有1个常数

Answer 4